Определение расположения эквипотенциален и построение силовых линий электрических полей. Большая энциклопедия нефти и газа

Для большей наглядности электрическое поле часто изображается при помощи силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Силовые линии – это непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке, через которую они проходят, совпадают с вектором напряженности электрического поля (рис. 1.5). Густота силовых линий (число силовых линий, проходящих через единицу площади) пропор­ци­о­нальна напряженности электрического поля.

Эквипотенциальные поверхности (экви­по­тенциали) – поверхности равного потен­циала. Это поверхности (линии), при движении по которым потенциал не меняется. Иначе, разность потенциалов между двумя любыми точками эквипотенциальной поверхности равна нулю. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены в сторону наиболее резкого убывания потенциала. Этот факт следует из уравнения (1.10) и доказывается в курсе математического анализа разделе «Скалярные и векторные поля».

Рассмотрим в качестве примера электрическое поле, создаваемое на расстоянии от точечного заряда. Согласно (1.11,б) вектор напряженности совпадает с направлением вектора, если заряд положительный, и противоположен ему, если заряд отрицательный. Следовательно, силовые линии расходятся радиально от заряда (рис. 1.6, а, б). Густота силовых линий, как и напряженность, обратно пропорциональна квадрату расстояния (

) до заряда. Эквипотенциальные поверхности электрического поля точечного заряда представляют собой сферы с центром в месте расположения заряда.

На рис. 1.7 показано электрическое поле системы двух равных по модулю, но противоположных по знаку точечных зарядов. Мы предоставляем разобрать этот пример читателям самостоятельно. Отметим лишь, что силовые линии всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. В случае электрического поля одного точечного заряда (рис. 1.6, а, б) предполагается, что силовые линии обрываются на очень удаленных зарядах противоположного знака. Считается, что Вселенная в целом нейтральна. Поэтому, если имеется заряд одного знака, то где-то обязательно найдется равный ему по модулю заряд другого знака.

1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

Основной задачей электростатики является задача о нахождении напряженности и потенциала электрического поля в каждой точке пространства. В п. 1.4 мы решили задачу о поле точечного заряда, а также рассмотрели поле системы точечных зарядов. В этом параграфе речь пойдет о теореме, позволяющей рассчитывать электрическое поле более сложных заряженных объектов. Например, заряженной длинной нити (прямой), заряженной плоскости, заряженной сферы и других. Рассчитав напряженность электрического поля в каждой точке пространства, используя уравнения (1.12) и (1.13), можно вычислить потенциал в каждой точке или разность потенциалов между двумя любыми точками, т.е. решить основную задачу электростатики.

Для математического описания введем понятие потока вектора напряженности или потока электрического поля. Потоком (Ф) вектора электрического поля через плоскую поверхность площади

называется величина:

, (1.16)

где – напряженность электрического поля, которая предполагается постоянной в пределах площадки

;

– угол между направлением вектораи единичного вектора нормалик площадке

(рис. 1.8). Формулу (1.16) можно записать, используя понятие скалярного произведения векторов:

. (1.15,а)

В случае, когда поверхность не плоская, для вычисления потока ее необходимо разделить на малые части

, которые можно приблизительно считать плоскими, а затем записать выражение (1.16) или (1.16,а) для каждого куска поверхности и сложить их. В пределе, когда поверхностьS i очень мала (

), такую сумму называют поверхностным интегралом и обозначают

. Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля через произвольную поверхностьопределяется выражением:

. (1.17)

В качестве примера рассмотрим сферу радиуса , центром которой служит положительный точечный заряд , и определим поток электрического поля через поверхность этой сферы. Силовые линии (см., например, рис.1.6, а) выходящие из заряда, перпендикулярны поверхности сферы, и в каждой точке сферы модуль напряженности поля один и тот же

.

Площадь сферы

,

тогда





.

Величина

и представляет собой поток электрического поля через поверхность сферы. Таким образом, получаем

. Видно, что поток через поверхность сферы электрического поля не зависит от радиуса сферы, а зависит только от самого заряда. Поэтому, если провести ряд концентрических сфер, то поток электрического поля через все эти сферы будет одинаковым. Очевидно, что число силовых линий, пересекающих эти сферы, тоже будет одинаковым. Условились число силовых линий, выходящих из заряда, принимать равным потоку электрического поля:

.

Если сферу заменить любой другой замкнутой поверхностью, то поток электрического поля и число силовых линий, пересекающих ее, не изменятся. Кроме того, поток электрического поля через замкнутую поверхность, а значит и число силовых линий, пронизывающих эту поверхность, равняется

не только для поля точечного заряда, но и для поля, создаваемого любой совокупностью точечных зарядов, в частности – заряженным телом. Тогда величинуследует считать как алгебраическую сумму всей совокупности зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности. В этом и состоит суть теоремы Гаусса, которая формулируется так:

Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равняется

, где

 алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри этой поверхности.

Математически теорему можно записать в виде

. (1.18)

Отметим, что если на некоторой поверхности S вектор постоянен и параллелен вектору, то поток через такую поверхность. Преобразуя первый интеграл, мы сначала воспользовались тем, что векторыипараллельны, а значит

. Затем вынесли величинуза знак интеграла в силу того, что она постоянна в любой точке сферы. Применяя теорему Гаусса для решения конкретных задач, специально в качестве произвольной замкнутой поверхности стараются выбирать поверхность, для которой выполняются описанные выше условия.

Приведем несколько примеров на применение теоремы Гаусса.

Пример 1.2. Рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити. Определить разность потенциалов между двумя точками в таком поле.

Решение. Предположим для определенности, что нить заряжена положительно. В силу симметрии задачи можно утверждать, что силовые линии будут радиально расходящимися от оси нити прямыми (рис.1.9), густота которых по мере удаления от нити уменьшается по какому-то закону. По этому же закону будет уменьшаться и величина электрического поля . Эквипотенци­аль­ны­ми поверхностями будут цилиндрические поверхности с осью, совпадающей с нитью.

Пусть заряд единицы длины нити равен . Эта величина называется линейной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м]. Для расчета напряженности поля применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхностивыберем цилиндр радиусаи длины, ось которого совпадает с нитью (рис.1.9). Вычислим поток электрического поля через площадь поверхности цилиндра. Полный поток складывается из потока через боковую поверхность цилиндра и потока через основания

Однако,

, поскольку в любой точке на основаниях цилиндра

. Это значит, что

в этих точках. Поток через боковую поверхность

. По теореме Гаусса этот полный поток равен

. Таким образом, получили

.

Сумма зарядов, находящихся внутри цилиндра, выразим через линейную плотность заряда :

. Учитывая, что

, получим

,

, (1.19)

т.е. напряженность и густота силовых линий электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити убывает обратно пропорционально расстоянию (

).

Найдем разность потенциалов между точками, находящимися на расстояниях иот нити (принадлежащими эквипотенциальным цилиндрическим поверхностям с радиусамии). Для этого воспользуемся связью напряженности электрического поля с потенциалом в виде (1.9,в):

. Учитывая выражение (1.19), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

.

Пример 1.3. Рассчитать напряжен­ность электрического поля равномерно заряженной плоскости. Определить раз­ность потенциалов между двумя точками в таком поле.

Решение. Электрическое поле равно­мер­но заряженной плоскости показано на рис. 1.10. В силу симметрии силовые линии должны быть перпендикулярны плоскости. Поэтому сразу можно сделать вывод о том, что густота линий, а, сле­до­вательно, и напряженность электри­ческого поля при удалении от плоскости меняться не будут. Эквипотенциальные поверхности пред­став­ляют собой плоскости, параллельные данной заряженной плоскости. Пусть заряд единицы площади плоскости равен . Эта величина называется поверхностной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м 2 ].

Применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхности выберем цилиндр длиной, ось которого перпендикулярна плоскости, а основания равноудалены от нее (рис.1.10). Общий поток электрического поля

. Поток через боковую поверхность равен нулю. Поток через каждое из оснований равен

, поэтому

. По теореме Гаусса получим:

.

Сумму зарядов, находящихся внутри цилиндра , найдем через поверхностную плотность заряда:

. Тогда, откуда:

. (1.20)

Из полученной формулы видно, что напряженность поля равномерно заряженной плоскости не зависит от расстояния до заряженной плоскости, т.е. в любой точке пространства (в одной полуплоскости) одинакова и по модулю, и по направлению. Такое поле называется однородным. Силовые линии однородного поля параллельны, их густота не меняется.

Найдем разность потенциалов между двумя точками однородного поля (принадлежащим эквипотенциальным плоскостям и, лежащим в одной полуплоскости относительно заряженной плоскости (рис.1.10)). Направим осьвертикально вверх, тогда проекция вектора напряженности на эту ось равна модулю вектора напряженности

. Воспользуемся уравнением (1.9):

.

Постоянную величину (поле однородно) можно вынести из под знака интеграла:

. Интегрируя, получаем: . Итак, потенциал однородного поля линейно зависит от координаты.

Разность потенциалов между двумя точками электрического поля – есть напряжение между этими точками (). Обозначим расстояние между эквипотенциальными плоскостями

. Тогда можно записать, что в однородном электрическом поле:

. (1.21)

Еще раз подчеркнем, что при использовании формулы (1.21) нужно помнить, что величина  не расстояние между точками 1 и 2, а расстояние между эквипотен­ци­альными плоскостями, которым эти точки принадлежат.

Пример 1.4. Рассчитать напря­жен­ность электрического поля двух параллельных плоскостей, однородно заряженных с поверхностными плотностями зарядов

и

.

Решение. Воспользуемся резуль­та­том примера 1.3 и принципом суперпо­зи­ции. Согласно этому принципу резуль­тиру­ющее электрическое поле в любой точке пространства

, гдеи- напряженности электрических полей первой и второй плоскости. В пространстве между плоскостями вектораинаправлены в одну сторону, поэтому модуль напряженности результирующего поля. Во внешнем пространстве вектораинаправлены в разные стороны, поэтому(рис. 1.11). Таким образом, электрическое поле есть только в пространстве между плоскостями. Оно однородно, так как является суммой двух однородных полей.

Пример 1.5. Найти напряженность и потенциал электрического поля равномерно заряженной сферы. Суммарный заряд сферы равен , а радиус сферы –.

Решение. В силу симметрии распределения заряда силовые линии должны быть направлены вдоль радиусов сферы.

Рассмотрим область внутри сферы. В качестве произвольной поверхности выберем сферу радиуса

, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Тогда поток электрического поля через сферуS :

. Сумма зарядов внутри сферырадиусаравна нулю, поскольку все заряды располагаются на поверхности сферы радиуса

. Тогда по теореме Гаусса:

. Поскольку

, то

. Таким образом внутри равномерно заряженной сферы поля нет.

Рассмотрим область вне сферы. В качестве произвольной поверхности выберем сферу радиуса

, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Поток электрического поля через сферу:

. Сумма зарядов внутри сферы равна полному зарядузаряженной сферы радиуса. Тогда по теореме Гаусса:

. Учитывая, что

, получим:

.

Рассчитаем потенциал электрического поля. Удобнее начать с внешней области

, поскольку мы знаем, что на бесконечном расстоянии от центра сферы потенциал принимается равным нулю. Используя уравнение (1.11,а) получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

.

Константа

, поскольку

при

. Таким образом, во внешнем пространстве (

):

.

Точки на поверхности заряженной сферы (

) будут иметь потенциал

.

Рассмотрим область

. В этой области

, поэтому из уравнения (1.11,а) получаем:





. В силу непрерывности функции

константадолжна быть равна значению потенциала на поверхности заряженной сферы:

. Таким образом, потенциал во всех точках внутри сферы:

.

Итак, мы получили, что напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой, вне сферы равны напряженности и потенциалу поля, создаваемого точечным зарядом той же величины , что и заряд сферы, помещенным в центр сферы. Во внутреннем пространстве поле отсут­ствует, а потенциал во всех точках одинаков. Электрическое поле (силовые линии и эквипотенциальные поверхности) заряженной сферы изображены на рис. 1.12. Предполагается, что сфера заряжена положительно. Вне сферы силовые линии и распределены в пространстве точно так же, как и силовые линии точечного заряда.

На рис. 1.13 изображены графики зависимости

и

. Функция

непрерывна, а функция

скачкообразно меняется при переходе через границу заряженной сферы. Величина скачка равна

. Действительно, вблизи заряженной сферы (

) напряженность поля во внешнем пространстве

, а внутри равна нулю.

Величину скачка можно выразить через поверхностную плотность заряда на сфере:

.

Заметим, что это общее свойство электростатического поля: на заряженной поверхности проекция напряженности на направление нормали всегда испытывает скачок

независимо от формы поверхности. Рекомендуем проверить этот принцип для поля равномерно заряженной плоскости и поля двух параллельных заряженных плоскостей (примеры 1.3, 1.4).

С точки зрения математики непрерывность потенциала в точках заряженной поверхности означает, что

. С точки зрения физики непрерывность функции

можно объяснить следующим образом. Если бы потенциал на границе некоторой области имел бы скачок (разрыв), то при бесконечно малом перемещении некоторого зарядаиз точки 1, лежащей с одной стороны границы, в точку 2, лежащую на другой ее стороне, совершалась бы конечная работа

, гдеи потенциалы точек 1 и 2 соответственно, а величина

равна величине скачка потенциала на границе области. Конечная работа, совершенная на бесконечно малом перемещении, означает, что на границе раздела бы действовали бесконечно большие силы, что невозможно.

Напряженность электрического поля, в отличие от потенциала, на границе области может меняться очень резко (скачкообразно).

Пример 1.6. Две концентрические сферы радиусови(

) равномерно заряжены равными по модулю, но противоположными по знаку зарядами

и

(сферический конденсатор). Определить напряженность и потенциал электрического поля во всем пространстве.

Решение. Решение этой задачи можно было бы также начать с применения теоремы Гаусса. Однако, используя результаты предыдущего примера и принцип суперпозиции (1.13, 1.14), ответ можно получить быстрее.

Во внешних точках пространства (

) электрическое поле создается зарядами обеих сфер. Величина напряженности поля первой сферы

и направлена от сфер вдоль радиусов. Величина напряженности поля второй сферы такая же

, но направлена противоположно. Следовательно, согласно принципу суперпозиции, во всех внешних точках пространства электрическое поле будет отсутствовать

.

Рассмотрим точки пространства между сферами (

). Эти точки являются внутренними для отрицательно заряженной сферы, поэтому в этой области

(см. пример 1.5). Для положительно заряженной сферы эти точки являются внешними, поэтому

. Таким образом, величина напряженности поля в этой области

. Здесь поле создают только заряды меньшей сферы.

Наконец, во внутренних точках пространства (

)

и

, поэтому электрического поля в этих точках нет.

Аналогично можно применить принцип суперпозиции и для потенциалов. Получаются следующие результаты:

:

;

:

;

:

.

Рекомендуем самостоятельно получить эти результаты, а также схематически изобразить электрическое поле и построить графики

и

.

Моделирование электростатических полей

Цель работы: определение расположения эквипотенциалей, построение силовых линий электрических полей, задаваемых электродами различной конфигурации, и построение качественной зависимости напряжённости электрического поля от координаты.

Теоретические положения

Между напряжённостью электрического поля и электрическим потенциалом существует интегральная и дифференциальная связь:

Электростатическое поле может быть представлено графически двумя способами, дополняющими друг друга: с помощью эквипотенциальных поверхностей и линий напряжённости (силовых линий).

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Линия пересечения ее с плоскостью чертежа называется эквипотенциалью. Силовые линии - линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора . На рис. 1.1 пунктирными линиями представлены эквипотенциали, сплошными - силовые линии электрического поля.

Разность потенциалов между точками 1 и 2 равна нулю, так как они находятся на одной эквипотенциали. В этом случае из (1.1) или . Так как Е и dl не равны нулю, то cos, т. е. угол между эквипотенциалью и силовой линией составляет /2, так что силовые линии и эквипотенциали образуют "криволинейные квадраты".

Из (1.2) следует, что силовые линии всегда направлены в сторону убывания потенциала. Величина напряжённости электрического поля определяется "густотой" силовых линий; чем гуще силовые линии, тем меньше расстояние между эквипотенциалями. Исходя из этих принципов, можно построить картину силовых линий, располагая картиной эквипотенциалей, и наоборот.

Достаточно подробная картина эквипотенциалей поля позволяет рассчитать в разных точках значение проекции вектора напряжённости на выбранное направление х , усредненное по некоторому интервалу координаты х :

, (1.3)

где х - приращение координаты при переходе с одной эквипотенциали на другую, м;  - соответствующее ему приращение потенциала, В;
E х > – среднее значение проекции Е х между двумя эквипотенциалями, В/м; Е х – проекция на ось х , В/м.

У поверхности металла напряжённость связана с величиной поверхностной плотности заряда  соотношением

, (1.4)

где n - изменение координаты в направлении, перпендикулярном поверхности металла, м;  n - соответствующее ему приращение потенциала, В.

Описание установки и методики измерений

Для моделирования электростатического поля удобно использовать аналогию, существующую между электростатическим полем, созданным заряженными телами данной формы в вакууме, и электрическим полем постоянного тока, текущего по проводящей плёнке с однородной проводимостью. При этом расположение силовых линий электростатического поля оказывается аналогично расположению линий электрических токов.

То же утверждение справедливо для потенциалов. Распределение потенциалов поля в проводящей плёнке такое же, как в электростатическом поле в вакууме, если оно задано заряженными телами, сечение которых плоскостью плёнки совпадает со "следом", оставляемым моделью электро-

да на плёнке, а высота бесконечно велика. Например, при использовании моделей электродов, приведенных на рис. 1.2, на проводящей плёнке возникает такое же распределение потенциалов, как в электростатическом поле в вакууме, созданном двумя бесконечно длинными плоскостями, перпендикулярными плоскости плёнки.

В


качестве проводящей плёнки в работе используется электропроводящая бумага с одинаковой во всех направлениях проводимостью.

А бумаге устанавливаются массивные модели электродов, так что обеспечивается хороший контакт между электродом и

проводящей бумагой. Для исследования электростатического поля применяется установка (рис. 1.3), состоящая из лабораторного модуля, зонда, выносного элемента, источника питания ИП и вольтметра. Выносной элемент представляет собой диэлектрическую панель, на которую помещают лист миллиметровой бумаги, поверх нее - лист копировальной бумаги, затем - лист электропроводящей бумаги, на которой уст


анавливаются электроды.

Электрическая схема лабораторной работы изображена на передней панели модуля (рис. 1.4). Напряжение от источника питания ИП с ЭДС E 1 подается на однополюсные розетки 1 и 2, к которым подключаются электроды, установленные на электропроводящей бумаге. К модулю также подключаются зонд (к однополюсной розетке 3) и вольтметр (к однополюсным розеткам 4 и 5). В качестве вольтметра используется мультиметр.

Потенциал зонда равен потенциалу той точки поверхности электропроводящей бумаги, которой он касается. Совокупность точек, для которых потенциал одинаков, и есть изображение эквипотенциали поля. Вольтметр измеряет разность потенциалов между одним из электродов и зондом (точкой на электропроводящей бумаге, которой касается зонд). Для построения эквипотенциалей необходимо найти 7 - 8 точек с одинаковым потенциалом. Нахождение точек осуществляется путем перемещения зонда по электропроводящей бумаге. Для построения модели элетростатического поля необходимо определить местонахождение 6 - 7 эквипотенциалей.

В качестве источника питания в данной работе используется источник питания "Марс".

Порядок выполнения работы

1. Укрепить на предметном столике лист миллиметровой бумаги, на него положить копировальную бумагу, а поверх нее лист электропроводящей бумаги.

2. Установить на электропроводящей бумаге электроды, моделирующие систему "плоскость – плоскость" или "длинный цилиндр над плоскостью".

3. Включить источник питания и установить по вольтметру на лицевой панели прибора напряжение по указанию преподавателя (9 - 12 В).

4. Снять картину электрического поля:

а) касаясь зондом электродов, определить потенциалы электродов и обвести контуры электродов. Контуры электродов определяют крайние эквипотенциали;

б) перемещая зонд по бумаге, найти и отметить точки, соответствующие данной эквипотенциали. Точки отмечают в момент, когда вольтметр показывает одинаковое значение разности потенциалов между данной точкой на электропроводящей бумаге и одним из электродов (первая серия (7-8 точек) - 1,5 В, вторая серия - 3,0 В, третья серия - 4,5 В и т.д.);

в) отключить лабораторную установку от сети;

г) снять миллиметровку с доски и по точкам начертить эквипотенциали. На каждой эквипотенциали отметить соответствующее ей значение потенциала.

Обработка результатов измерений

1. На картине поля начертить координатную ось x , проходящую через центры электродов.

2. В табл. 1.1 записать координаты и соответствующие им потенциалы точек поля. Построить график  = f (х ).

Таблица 1.1

х , см

3. Построить картину силовых линий поля. Густота и направление силовых линий должны соответствовать расположению эквипотенциалей.

Таблица 1.2

		 i , В	 i -1 , В	 n = i - i -1 , В	х , см	Е х >, В/см

5. Построить график зависимости Е х >(х ) по данным табл. 1.2.

Контрольные вопросы

1. Что называется напряжённостью электростатического поля?

2. Что называется разностью потенциалов, потенциалом электростатического поля?

3. Какова дифференциальная связь между вектором напряжённости электростатического поля и потенциалом?

4. Какова интегральная связь между разностью потенциалов и напряжённостью электростатического поля?

Построение силовых линий облегчается, если применить так называемую гидродинамическую аналогию. Она основана на том, что дифференциальные уравнения силовых линий аналогичны уравнениям линий тока жидкости, вращающейся в сосуде, имеющем форму профиля скручиваемого стержня. Из этой аналогии можно заключить, в частности, чта во входящих углах контура сечения, создающих неблагоприятные условия обтекания (рис. 108), силовые линии тесно сближаются, а напряжения резко возрастают (теоретически - до бесконечности), как и скорости движения жидкости в этих точках. Наоборот, во внешних углах образуется застой жидкости, и напряжения в них, как было видно, обращаются в нуль.  

Построение силовых линий в разных случаях имеет свои особенности. В случае точечных зарядов этого не происходит из-за трехмерности поля.  

При построении силовых линий поля с помощью соломинки необходимо следить за тем, чтобы соломинка и ее ось вращения перемещались все время в одной плоскости.  

Реакция якоря иллюстрируется построением силовых линий поля на рис. 10.6, где отдельно изображены поля индуктора, якоря и суммарное поле. Оно будет тем больше, чем больше ток, потребляемый от генератора.  

Таким образом, мы имеем метод построения силовых линий, при котором заряд любого силового центра показан числом выходящих из него линий, а индукция через любую поверхность, вырезаемую указанным способом, измеряется числом силовых линий, проходящих через нее. Пунктирные прямые в левой части рис. 5 изображают силовые линии, соответствующие каждому точечному заряду при зарядах 10 и - 10 соответственно.  

В качестве тела, на которое производится действие (Aufpunkt), при построении силовых линий поля тяготения следует мыслить себе материальную точку единичной массы, при построении магнитных силовых линий - точечный северный полюс единичной силы, для электрических силовых линий - концентрированное в одной точке единичное количество электричества.  

В случае обратной задачи для сопряженного поля силовые линии прямой задачи соответствуют линиям равного потенциала обратной. Для построения силовых линий производится замена изучаемой прямой модели другой, называемой обращенной моделью: изменив граничные условия и геометрию электродов, получают модель, у коророй линии равного потенциала будут соответствовать силовым линиям тока прямой модели.  

Каждая линия X, построенная таким образом, называется линией сил, или силовой линией поля. Из самого процесса построения силовых линий ясно, что через каждую точку поля проходит одна, и только одна, силовая линия.  

Исследование электростатического поля заключается в нахождении величины и направления напряженности в любой его точке. Таким образом, задача сводится к построению силовых линий такого поля. Но силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, поэтому достаточно найти положение этих поверхностей, а затем можно построить и силовые линии. Найти распределение потенциалов в данном поле легче, чем определить направление силовых линий, поэтому обычно определяют положение и форму эквипотенциальных поверхностей.  

Расположение силовых линий касательных напряжений подобно характеру распределения скоростей течения жидкости при вращательном движении ее в сосуде, имеющем форму поперечного сечения скручиваемого бруса. Такое подобие, называемое гидродинамической аналогией, облегчает построение силовых линий касательных напряжений. Из него, в частности, следует, что с приближением к входящим углам контура поперечного сечения стержня (угол 6 на рис. 22.6) напряжения при кручении резко возрастают, так как возрастают скорости движения жидкости около таких углов. Для уменьшения этих напряжений входящие углы целесообразно заменять выкружками. Около внешних углов / (утлы 1 - 5 на рис. 22.6) происходит застой жидкости, и, следовательно, касательные напряжения там равны нулю.  

Страницы:      1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ.

Между напряженностью электрического доля и электрическим потенциалом существует интегральная и дифференциальная связь:

j 1 - j 2 = ∫ Е dl (1)

E = -grad j (2)

Электрическое поле может быть представлено графически двумя способами, дополняющими друг друга: с помощью эквипотенциальных поверхностей и ли­ний напряженности (силовых линий).

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Линия пересечения ее с плоскостью чертежа называется эквипотенциалью. Силовые линии - линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е . На рисунке 1 пунктирными линиями показаны эквипотенциали, сплошными - силовые линии электрического поля.

Рис.1

Разность потенциалов между точками 1 и 2 равна 0, так как они находятся на одной эквипотенциали. В этом случае из (1):

∫Е dl = 0 или ∫Е dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Поскольку Е и dl в выражении (3) не равны 0, то cos ( Edl ) = 0 . Следовательно, угол между эквипотенциалью и силовой линией составляет p/2.

Из дифференциальной связи (2) следует, что силовые линии всегда направлены в сторону убывания потенциала.

Величина напряженности электрического поля определяется «густотой» сило­вых линий. Чем гуще силовые линии, тем меньше расстояние между эквипотенциалями, так что силовые линии и эквипотенциали образуют "криволинейные квадраты". Исходя из этих принципов, можно построить картину силовых линий, располагая картиной эквипотенциалей, и наоборот.

Достаточно полная картина эквипотенциалей поля позволяет рассчитать в раз­ных точках значение проекции вектора напряженности Е на выбранное направ­ление х , усредненное по некоторому интервалу координаты ∆х :

Е ср. ∆х = - ∆ j /∆х,

где ∆х - приращение координаты при переходе с одной эквипотенциали на дру­гую,

∆ j - соответствующее ему приращение потенциала,

Е ср. ∆х - среднее значение Е х между двумя потенциалами.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ.

Для моделирования электрического поля удобно использовать аналогию, су­ществующую между электрическим полем, созданным заряженными телами и электрическим полем постоянного тока, текущего по проводящей пленке с одно­родной проводимостью. При этом расположение силовых линий электрического поля оказывается аналогично расположению линий электрических токов.

То же утверждение справедливо для потенциалов. Распределение потенциалов поля в проводящей пленке такое же, как в электрическом поле в вакууме.

В качестве проводящей пленки в работе используется электропроводная бума­га с одинаковой во всех направлениях проводимостью.

На бумаге устанавливаются электроды так, чтобы обеспечивался хороший кон­такт между каждым электродом и проводящей бумагой.

Рабочая схема установки приведена на рисунке 2. Установка состоит из модуля II, выносного элемента I, индикатора III, источника питания IV. Модуль служит для подключения всех используемых приборов. Выносной элемент представляет собой диэлектрическую панель 1, на которую помещают лист белой бумаги 2, по­верх нее - лист копировальной бумаги 3, затем - лист электропроводящей бумаги 4, на котором крепятся электроды 5. Напряжение на электроды подается от моду­ля II с помощью соединительных проводов. Индикатор III и зонд 6 используются для определения потенциалов точек на поверхности электропроводящей бумаги.

В качестве зонда применяется провод со штекером на конце. Потенциал j зонда равен потенциалу той точки поверхности электропроводящей бумаги, которой он касается. Совокупность точек поля с одинаковым потенциалом и есть изображе­ние эквипотенциали поля. В качестве источника питания IV используется блок питания ТЕС – 42, который подключается к модулю с помощью штепсельного разъема на задней стенке модуля. В качестве индикатора Ш используется вольт­метр В7 – 38.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

1. Установить на панели 1 лист белой бумаги 2. На него положить копироваль­ную бумагу 3 и лист электропроводящей бумаги 4 (рис.2).

2. Установить на электропроводящей бумаге электроды 5 и закрепить гайками.

3. Подключить к модулю блок питания IV (ТЕС – 42) с помощью штепсельного разъема на задней стенке модуля.

4. С помощью двух проводников подключить индикатор III (вольтметр В7 – 38) к гнездам "PV" на лицевой панели модуля. Нажать соответствующую кнопку на вольтметре для измерения постоянного напряжения (рис.2).

5. С помощью двух проводников подключить электроды 5 к модулю П.

6. Подключить зонд (провод с двумя штекерами) к гнезду на лицевой панели модуля.

7. Подключить стенд к сети 220 В. Включить общее питание стенда.