Функционально-графический метод решения уравнений и. Функционально- графический метод решения уравнений Функционально графический метод решения уравнений и неравенств

Алгебра и начала анализа10­11 класс (А.Г.Мордкович)
Разработать урок по функционально­графическому методу решения
уравнений.
Тема урока: Функционально­графический метод решения уравнений.
Тип урока: Урок совершенствования знаний умений и навыков.
Цели урока:
Образовательные: Систематизировать, обобщить, расширить знания, умения
учащихся, связанные с применением функционально­графического метода
решения уравнений. Отработать навыки решения уравнений функционально­
графическим методом.
Развивающие: Развитие памяти, логического мышления, умения
анализировать, сравнивать, обобщать, самостоятельно делать выводы;
развитие грамотной математической речи.
Воспитательные: воспитывать аккуратность и точность при выполнении
заданий, самостоятельность и самоконтроль; формирование культуры
учебного труда; продолжить формирование познавательного интереса к
предмету.
Структура урока:
I.
АЗ
1. Организационный момент.


4. Постановка целей и задач на следующий этап урока.
II.
ФУН
1. Коллективное решение задач.
2. Постановка домашнего задания.
3. Самостоятельная работа.
4. Подведение итогов урока.

Ход урока:
I.АЗ
1.Организационный момент.
2. Устная работа с целью проверки домашнего задания.
Начнём урок с проверки домашнего задания.
Называйте ответы по цепочке.
1358.а)4x=1/16
4x=4­2
б)(1/6)x=36
6­x=62
x=­2 x=­2
1364.a)(1/5)x*3x= √ 27

3
5
¿
3
5
¿
)x=
125 б)5x*2x=0,1­3
)3/2 10x=103
x=3
x=1.5
1366.a)22x­6*2x+8=0
2x=a
a=2 , a=4
2x=2, 2x=4
x=1, x=2
1367. б)2*4x­5*2x+2=0
2x=a
2a2­5a+2=0
a=2, a=1/2
2x=2, 2x=1/2
x=1, x=­1
1371.a)5x=­x+6 y=5x y=­x+6
y
6
5
0
1
x
x=1

Молодцы, у всех получились такие ответы, есть вопросы по домашнему
заданию? Все справились?
3. Фронтальный опрос с целью АЗ по теме.
Как называются уравнения, которые вы решали в домашней работе?
Показательные.
Какие уравнения называются показательными?
Показательными уравнениями называют уравнения вида af(x)=ag(x), где а ­
положительное число отличное от 1,и уравнения, сводящиеся к этому
виду.
Какому уравнению равносильно уравнение af(x)=ag(x)?
уравнение af(x)=ag(x) (где a>0,a ≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x)
C помощью каких основных методов вы решали показательные уравнения?
1) Метод уравнивания показателей
2) Метод введения новой переменной
3) Функционально графический метод
4.Постановка целей и задач на следующий этап урока.
Сегодня мы подробнее остановимся на решение уравнений с помощью
функционально – графического метода.
За 10 минут до конца урока вы напишите небольшую самостоятельную работу.
II.ФУН
1.Коллективное решение задач.
В чём же суть функционально­графического метода решения уравнений? Что
мы должны сделать решая уравнение таким способом?
Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально­графическим
методом нужно:
Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.
Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.
Записать ответ.
№1a)3x=­x+4

Функционально –графическим.

Введем функции.

y=3x y=­x+4
таблицу.
Каким образом строим график?
По точкам, подставляем в функцию x и находим y.
y
4
3

0
1
x

Найдём точку пересечения двух получившихся графиков.
Сколько точек пересечения у нас получилось, посмотри на рисунок?
Одна точка.
Что это значит? Сколько корней имеет данное уравнение?
Один корень, равен 1.
Ответ: x=1
б)3x/2=­0.5x+4
Каким методом мы будем решать уравнение?
Функционально –графическим.
Какой будет первый шаг при решении уравнения?
Введем функции.
Какие функции у нас получаться?
y=3x/2 y=­0.5x+4
y
4
3
0
2 x
Как мы найдём корень уравнения?

Ответ: x=2
№2 a)2x+1=x3
Каким методом мы будем решать уравнение?
Функционально –графическим.
Какой будет первый шаг при решении уравнения?
Введем функции.
Какие функции у нас получаться?
y=2x+1 y= x3

8
0
2 x
Как мы найдём корень уравнения?
Найдём точку пересечения двух получившихся графиков, корень равен 2.
Ответ: x=2
б)2x=(x2/2)+2
Каким методом мы будем решать уравнение?
Функционально –графическим.
Какой будет первый шаг при решении уравнения?
Введем функции.
Какие функции у нас получаться?
y=2x y= (x2/2)+2
Если учащийся может, строит график сразу, если нет, сначала составляет
таблицу.
y

4
0
2 x
Как мы найдём корень уравнения?
Найдём точку пересечения двух получившихся графиков, корень равен 2.
Ответ: x=2
2.Откройте дневники, запишите домашнее задание.
№№1372,1370,1371(в,г)
3.Самостоятельная работа.

а)3x+2­6x=0 (решений нет)
б)5x/5+x­1=0 (x=0)
А сейчас небольшая самостоятельная работа. Проверим как вы усвоили
материал, всё ли из вас поняли суть функционально­графического метода
решения уравнений.
№1 Решить уравнение функционально ­ графическим методом:
1 вариант
2 вариант
а)5x/5=­x2 (решений нет)
б)3x+2­3=0 (x=­1)
№2 Сколько корней имеет уравнение и в каком промежутке они находятся
1 вариант
а)3x=­x2­2 (решений нет) а) 3x=­x2+2 ((­1,5;1) два корня)
б)3x/2=6x ((­3;3,5) два корня) б)2x+x2­5=0 (­2.5;1.5) два корня)
4.Подведение итогов урока.
Чем сегодня мы занимались на уроке? Задания, какого вида решали?
Какой метод решения показательных уравнений вы сегодня освоили?
Повторим ещё раз, в чём суть функционально – графического метода решения
уравнений?
Объясните пошагово, как решаются уравнения таким методом?
Есть вопросы? Всем всё понятно?
Урок закончен, можете быть свободны.
2 вариант

Иванова Анастасия

Задание № 15 профильного экзамена по математике - это задание повышенного уровня сложности, представляющее неравенство. При решении этих неравенств учащиеся должны показать знания теорем о равносильности неравенств определенного вида, умения использовать стандартные и нестандартные методы решения. Анализ содержания школьных учебников показывает, что в большинстве из них методам решения неравенств с использованием свойств функций не уделяется должного внимания, а в заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций. По статистике представленной на сайте Федерального института педагогических измерений в 2017 году ненулевые баллы за это задание получили около 15% участников экзамена; максимальный балл – около 11%. Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении задания № 15 ЕГЭ. Цель : изучить различные способы решения неравенств.

:

1. Изучить теоретический материал по данной теме.

2. Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений.

3. Изучить функционально-графические методы решения неравенств.

4. Сравнить различные методы решения неравенств.

5. Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

Методы исследование: опрос, анкетирование, анализ, сравнение и обобщение результатов.

В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный. И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Исследование различных методов решения неравенств

Иванова Анастасия Евгеньевна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
"Средняя школа №30 с углубленным изучением отдельных предметов"

11б класс

Научная статья (описание работы)

1. Введение

Актуальность.

Задание № 15 профильного экзамена по математике - это задание повышенного уровня сложности, представляющее неравенство (рациональное, иррациональное, показательное, логарифмическое). При решении этих неравенств учащиеся должны показать знания теорем о равносильности неравенств определенного вида, умения использовать стандартные и нестандартные методы решения.

Полное правильное решение этого задания оценивается 2 баллами. При решении задачи допустимы любые математические методы - алгебраический, функциональный, графический, геометрический и др.

По статистике представленной на сайте Федерального института педагогических измерений в 2017 году ненулевые баллы за это задание получили около 15% участников экзамена; максимальный балл – около 11%. Типичные ошибки связаны с невнимательным чтением математической записи неравенства, непониманием алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств. Очень много ошибок допущено участниками экзамена при решении дробно-рационального неравенства (забыт знаменатель) .

Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы на ЕГЭ по математике представлены в таблице 1 и на диаграмме (рис. 1).

Таблица 1

Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы

Рис.1. Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы

Результаты выполнения задания № 15 на пробном городском экзамене 11а,б классов в 2017-2018 уч. году представлены в таблице 2 и на диаграмме (рис.2).

Таблица 2

Результаты выполнения задания № 15 на пробном городском экзамене

в 2017-2018 уч. году обучающимися нашей школы

Рис.2. Результаты выполнения задания № 15 на пробном экзамене в 2017-2018 уч. году обучающимися нашей школы

Мы провели опрос учителей математики нашей школы и выявили основные проблемы, которые возникают у учащихся при решении неравенств: неверное нахождение области допустимых значений неравенств; рассмотрение не всех случаев перехода от логарифмического неравенства к рациональному; преобразование логарифмических выражений; ошибки в использовании метода интервалов и др.

С применением метода интервалов и введением вспомогательной переменной связан ряд типичных ошибок. Так например, ошибка при определении знаков на промежутках или неправильное расположение чисел на координатной прямой, согласно критериям, могут трактоваться как вычислительные ошибки. Другие, связанные с пропуском шагов алгоритма или неверным их выполнением оцениваются 0 баллом.

Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении задания № 15 ЕГЭ по математике. В связи с этим нами была выдвинута гипотеза : если ученик будет владеть несколькими способами решения неравенств, то он сможет выбрать наиболее рациональный.

Объект исследования : неравенства.

Предмет исследования : различные способы решения неравенств.

Цель : изучить различные способы решения неравенств.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи :

1. Изучить теоретический материал по данной теме.
2. Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений.
3. Изучить функционально-графические методы решения неравенств.
4. Сравнить различные методы решения неравенств.
5. Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

2. Основная часть

2.1. Теоретическая часть

1. Линейные неравенства

Линейные неравенства - это неравенства вида: ax + b 0; ax+b≥0; ax+b≤0, где a и b – любые числа, причем a≠0, x - неизвестная переменная.

Правила преобразования неравенств:

1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный.

2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный.

2. Квадратные неравенства

Неравенство вида

где x - переменная, a, b, c - числа, , называется квадратным. При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения . Для этого необходимо найти дискриминант данного квадратного уравнения. Можно получить 3 случая: 1) D=0 , квадратное уравнение имеет один корень; 2) D>0 квадратное уравнение имеет два корня; 3) D квадратное уравнение не имеет корней. В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a возможно одно из шести расположений графика функции (Приложение 1).

3. Рациональные неравенства

Рациональным неравенством с одной переменной x называют неравенство вида f(x) выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел, переменной x и с помощью математических действий, т.е. операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень. Алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов (Приложение 1).

4. Показательные неравенства

Показательное неравенство – это неравенство , в котором неизвестное находится в показателе степени. Простейшее показательное неравенство имеет вид:а х ‹ b или а х › b, где а> 0, а ≠ 1, х – неизвестное.

5. Логарифмические неравенства

Логарифмическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестная величина стоит под знаком логарифма .

1. Неравенство в случае, если сводится к равносильному неравенству . Если же - то к неравенству .

Аналогично неравенство равносильно неравенствам для : ; для : .

Решения полученных неравенств надо пересечь с ОДЗ:

2. Решение логарифмического неравенства вида равносильно решению следующих систем:

а) б)

Неравенство в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

а) б)

6. Иррациональные неравенства

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

.

2.2. Практическая часть

Исследование № 1

Цель : изучить метод ограниченности функций.

Ход работы:

1. Изучить метод ограниченности функций.

2. Решить неравенства данным методом.

Для использования ограниченности функции необходимо уметь находить множество значений функции и знать оценки области значений стандартных функций (например, ) .

Пример № 1 . Решить неравенство:

Решение:

Область определения:

Для всех х из полученного множества имеем:

Следовательно, решение неравенства

Ответ:

Пример №2. Решить неравенство:

Решение:

Т.к.

Данное неравенство равносильно

Первое уравнение системы имеет один корень х = - 0,4, который удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ: - 0,4

Вывод: данный метод наиболее эффективен, если в неравенстве содержатся такие функции, как и другие, области значений которых ограничены сверху или снизу.

Исследование № 2

Цель : изучить метод рационализации решения неравенств.

Ход работы:

1. Изучить метод рационализации.

2. Решить неравенства данным методом.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x) v 0 равносильно неравенству F(x) v 0 на области определения выражения F(x) (символ "v" заменяет один из знаков неравенств: ≤, ≥, >,

Выделим некоторые типовые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G (таблица 1), где f, g, h, p, q - выражения с переменной х (h>0, h≠1,f>0,g>0), a-фиксированное число (а>0, a≠1). (Приложение 2).

Пример № 1. Решить неравенство:

О.Д.З:

Ответ:

Пример № 2. Решить неравенство:

О.Д.З:

Учитывая область определения, получим

Ответ:

Вывод : неравенства с логарифмами по переменному основанию вызывают наибольшую сложность. Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству. Метод рационализации позволяет не только сэкономить время, но и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Исследование № 3

Цель : в процессе решения неравенств сравнить различные методы.

Ход работы:

1. Решить неравенство разными методами.

2. Сравнить результаты и сделать вывод.

Пример № 1. Решить неравенство

Решение:

1 способ. Алгебраический метод

Решение первой системы:

Решаем второе неравенство второй системы:

2 способ . Использование области определения функции

Область определения:

Для этих значений х получаем:

Правая часть неравенства отрицательна на его области определения. Следовательно, неравенство справедливо при

Ответ:

3 способ. Графический метод

Вывод : решая неравенство алгебраическим методом я пришла к неравенству шестой степени, потратила много времени на его решение, но так и не смогла решить. Рациональный метод, по моему мнению, использование области определения функции или графический.

Пример № 2. Решить неравенство: .

Ответ:

Вывод: решить данное неравенство у меня получилось лишь благодаря методу рационализации.

Заключение

Анализ содержания школьных учебников показывает, что в большинстве из них методам решения неравенств с использованием свойств функций не уделяется должного внимания, а в заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.

Большинство учащихся решают неравенства с использованием стандартных, алгоритмических методов, что иногда приводит к громоздким вычислениям. В связи с этим процент выполнения задания № 15 на ЕГЭ невысок.

Область применения свойств функций при решении неравенств очень широка. Использование свойств (ограниченность, монотонность и др.) функций, входящих в неравенства, позволяет применить нестандартные методы решения. По нашему мнению, умение использовать необходимые свойства функций при решении неравенств могут позволить учащимся выбирать более рациональный способ решения.

В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Задачи нашей работы выполнены, цель достигнута, гипотеза подтвердилась.

Литература:

1. Алимов Ш. А, Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 384 с.
2. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1-4. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012. – 104 с.
3. Сайт http://www.fipi.ru/.
4. Сайт https://ege.sdamgia.ru/.
5. Ященко И. В. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. - М.: Издательство «Национальное образование», 2018. - 256 с.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Исследование различных методов решения неравенств Иванова Анастасия Евгеньевна МБОУ «СШ № 30 с углубленным изучением отдельных предметов»

Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы

Результаты выполнения задания № 15 на пробном экзамене в 2017-2018 уч. году обучающимися нашей школы

Гипотеза: если ученик будет владеть несколькими способами решения неравенств, то он сможет выбрать наиболее рациональный Объект исследования: неравенства Предмет исследования: различные способы решения неравенств

Цель: изучить различные способы решения неравенств. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: Изучить теоретический материал по данной теме. Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений. Изучить функционально-графические методы решения неравенств. Сравнить различные методы решения неравенств. Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

Исследование № 1 Цель: изучить метод ограниченности функций. Ход работы: 1. Изучить метод ограниченности функций. 2. Решить неравенства данным методом. Пример № 1 . Решить неравенство: Решение: Область определения: Для всех х из полученного множества имеем: Следовательно, решение неравенства Ответ:

Пример №2. Решить неравенство: Решение: Т.к. Данное неравенство равносильно Первое уравнение системы имеет один корень х = - 0,4, который удовлетворяет и второму уравнению. Ответ: - 0,4 Вывод: данный метод наиболее эффективен, если в неравенстве содержатся такие функции, как и другие, области значений которых ограничены сверху или снизу.

Исследование № 2 Цель: изучить метод рационализации решения неравенств. Ход работы: 1. Изучить метод рационализации. 2. Решить неравенства данным методом. Пример № 1. Решить неравенство: О.Д.З: Учитывая область определения, получим Ответ:

Пример № 2. Решить неравенство: О.Д.З: Учитывая область определения, получим Ответ: Вывод: неравенства с логарифмами по переменному основанию вызывают наибольшую сложность. Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству. Метод рационализации позволяет не только сэкономить время, но и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Исследование № 3 Цель: в процессе решения неравенств сравнить различные методы. Ход работы: 1. Решить неравенство разными методами. 2. Сравнить результаты и сделать вывод. Пример № 1. Решить неравенство 1 способ. Алгебраический метод Решение первой системы: Решаем второе неравенство второй системы: 2 способ. Использование области определения функции Область определения: Для этих значений х получаем: Правая часть неравенства отрицательна на его области определения. Следовательно, неравенство справедливо при

3 способ. Графический метод Вывод: решая неравенство алгебраическим методом я пришла к неравенству шестой степени, потратила много времени на его решение, но так и не смогла решить. Рациональный метод, по моему мнению, использование области определения функции или графический.

Пример № 2. Решить неравенство: Ответ: Вывод: решить данное неравенство у меня получилось лишь благодаря методу рационализации.

Область применения свойств функций при решении неравенств очень широка. Использование свойств (ограниченность, монотонность и др.) функций, входящих в неравенства, позволяет применить нестандартные методы решения. По нашему мнению, умение использовать необходимые свойства функций при решении неравенств могут позволить учащимся выбирать более рациональный способ решения. В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный. И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок. Задачи нашей работы выполнены, цель достигнута, гипотеза подтвердилась.

Спасибо за внимание!

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ (использование свойств монотонности функций при решении уравнений.)

На доске записан эпиграф

Что есть лучшего?

Сравнив прошедшее, свести его

с настоящим.

Козьма Прутков

1 этап: актуализация прошлого опыта.

На предыдущих занятиях элективного курса мы систематизировали наши знания о решении уравнений и пришли к выводу, что уравнения любых видов можно решать общими методами. Какие общие методы решения уравнений мы выделили?

(Замена уравнения h (f (x ))= h (g (x ) уравнением f (x )= g (x ),

разложение на множители, введение новой переменной.)

2 этап: мотивация введения новых уравнений, решение которых связано с применением функционально-графического метода.

На этом занятии мы познакомимся еще с одним методом решения уравнений. Чтобы осознать его необходимость, выполним следующую работу.

Задание. Перед вами ряд уравнений. Сгруппируйте уравнения по методам решения. В таблицу запишите только номера уравнений. Можно поработать самостоятельно, затем сравнить ответы в парах или группах.

Проверка выполнения .

Учащиеся зачитывают ответы.

Среди уравнений вам встретились уравнения, которые вы не можете решить изученными методами. Многие из них решаются графическим методом. Его идея вам знакома. Напомните ее.

(1). Преобразовать уравнение к виду f (x )= g (x ) так, чтобы в левой и правой части уравнения были известные нам функции. 2). В одной системе координат построить графики функций f (x ) и g (x ). 3). Найти абсциссы точек пересечения графиков. Это и будут приближенные корни уравнения.)

В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить ссылкой на какое-либо свойство функций (поэтому и говорим не о графическом, а функционально-графическом методе решения уравнений).

Одно из свойств- это свойство монотонности функций. Это свойство применяется при решении уравнений вида

Актуализация опорных знаний учащихся о свойствах монотонности функций

Обращение к эпиграфу урока.

Задание. Вспомним, какие из изученных функций являются монотонными на области определения функции и назовем характер монотонности.

r -дробное

r > 0 , возрастающая

r <0 , убывающая

Корень n -степени из x

Возрастающая

Y=arcsin x

Возрастающая

Y=arccos x

Убывающая

Y=arctg x

Возрастающая

Y=arcctg x

Убывающая

Y = x 2 n +1 , n -натуральное число

Возрастающая

Остальные функции будут монотонными на промежутках области определения функции.

Кроме сведений о монотонности элементарных функций мы используем ряд утверждений для доказательства монотонности функций. (Аналогичные свойства будут формулироваться для убывающих функций.)

Самостоятельная работа с материалом, представленном в печатном виде.

Если функция f возрастает на множестве X , то для любого числа c функция f + c тоже возрастает на X .

Если функция f возрастает на множестве X и c >0, функция cf тоже возрастает на X .

Если функция f возрастает на множестве X , то функция – f убывает на этом множестве.

Если функция f возрастает на множестве X и сохраняет знак на множестве X , то функция 1/ f убывает на этом множестве.

Если функции f и g возрастают на множестве X , то их сумма f + g

Если функции f и g возрастают и неотрицательны на множестве X , то их произведение f · g тоже возрастает на этом множестве.

Если функция f возрастает и неотрицательна на множестве X и n -натуральное число, то функция f n тоже возрастает на X

Если функция f возрастает X , а функция g возрастает на множестве E (f ) функции f , то композиция g ° f этих функций тоже возрастает на X .

Основные свойства композиции функции .

Пусть сложная функция y = f (g (x )), где x € X такова, что функция u = g (x ),

x € X непрерывна и строго возрастает (убывает) на промежутке Х; функция y = f (u ), u € U , U = g (x ) непрерывна и также является монотонной (строго возрастающей или убывающей) на промежутке U . Тогда сложная функция y = f (g (x )), x € X также будет непрерывной и монотонной на X , причем:

Композиция f ° g двух строго возрастающих функций f и g также будет строго возрастающей функцией,

Композиция f ° g двух строго убывающих функций f и g является строго возрастающей функцией,

Композиция f ° g функций f и g , одна из которых (любая) является строго возрастающей, а другая строго убывающей, будет строго убывающей функцией.

Задание.

Определите, какие функции являются монотонными, установите характер монотонности. Поставьте знак плюс около соответствующего номера. Объясните ответ.(по цепочке)

y = √ x +2,

y =8-3 x ,

y = log 2 2 x ,

y =2 √ 5- x ,

y = cos 2 x ,

y = arcsin (x -9),

y =4 x +9 x ,

y =3 √ -2 x +4 ,

y=ln(2 x +5 x ),

10) y = log 0,2 (-4 x -5),

11) y = log 2 (2 - x +5 -2 x ),

12) y = √ 6-4 x - x 2

Воспользуемся свойствами монотонности функций при решении уравнений. Найдите уравнения из того же списка, которые можно решить, воспользовавшись свойствами монотонности функций.

Подведение итогов занятия.

С каким методом решения уравнений познакомились на занятии?

Все ли уравнения можно решать этим методом?

Как «узнать» метод в конкретных уравнениях?

Список уравнений, которые можно предложить на этом занятии.

Часть 1.

Часть 2.

Точность такого решения невелика, однако с помощью графика можно разумно выбрать первое приближение, с которого начнется дальнейшее решение уравнения. Существуют два способа графического решения уравнений.

Первый способ . Все члены уравнения переносят в левую часть, т.е. уравнение представляют в виде f(x) = 0. После этого строят график функции y = f(x) , где f(x) - левая часть уравнения. Абсциссы точек пересечения графика функции y = f(x) с осью Ox и являются корнями уравнения, т.к. в этих точках y = 0 .

Второй способ . Все члены уравнения разбивают на две группы, одну из них записывают в левой части уравнения, а другую в правой, т.е. представляют его в виде j(x) = g(x). После этого строят графики двух функций y = j(x) и y = g(x). Абсциссы точек пересечения графиков этих двух функций и служат корнями данного уравнения. Пусть точка пересечения графиков имеет абсциссу x o , ординаты обоих графиков в этой точке равны между собой, т.е. j(x о) = g(x o). Из этого равенства следует, что x 0 - корень уравнения.

Отделение корней

Процесс нахождения приближенных значений корней уравнения разбивается на два этапа:

1) отделение корней;

2) уточнение корней до заданной точности.

Корень x уравнения f(x) = 0 считается отделенным на отрезке , если на этом отрезке уравнение f(x) = 0 не имеет других корней.

Отделить корни - это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.

Графический метод отделения корней - в этом случае поступают также, как и при графическом методе решения уравнений.

Если кривая касается оси абсцисс, то в этой точке уравнение имеет двукратный корень (например, уравнение x 3 - 3x + 2 = 0 имеет три корня: x 1 = -2 ; x 2 = x 3 = 1).

Если же уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в месте касания с осью х кривая y = f(x) имеет точку перегиба (например, уравнение x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 имеет корень x 1 = x 2 = x 3 = 1).

Аналитический метод отделения корней . Для этого используют некоторые свойства функций.

Теорема 1 . Если функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка существует по крайней мере один корень уравнения f(x) = 0.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка содержится корень уравнения f(x) = 0, и этот корень единственный.

Теорема 3 . Если функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, а производная f "(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка существует корень уравнения f(x) = 0 и притом единственный.

Если функция f(x) задана аналитически, то областью существования (областью определения) функции называется совокупность всех тех действительных значений аргумента, при которых аналитическое выражение, определяющее функцию, не теряет числового смысла и принимает только действительные значения.

Функция y = f(x) называется возрастающей , если с возрастанием аргумента значение функции увеличивается, и убывающей , если с возрастанием аргумента значение функции уменьшается.

Функция называется монотонной , если она в заданном промежутке либо только возрастает, либо только убывает.

Пусть на отрезке функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f "(x) сохраняет постоянный знак на интервале . Тогда если во всех точках интервала первая производная положительна, т.е. f "(x)>0, то функция f(x) в этом интервале возрастает . Если же во всех точках интервала первая производная отрицательна, т.е. f "(x)<0, то функция в этом интервале убывает .

Пусть на отрезке функция f(x) имеет производную второго порядка, которая сохраняет постоянный знак на всем отрезке. Тогда если f ""(x)>0, то график функции является выпуклым вниз ; если же f ""(x)<0, то график функции является выпуклым вверх .

Точки, в которых первая производная функции равна нулю, а также те, в которых она не существует (например, обращается в бесконечность), но функция сохраняет непрерывность, называются критическими .

Порядок действий для отделения корней аналитическим методом:

1) Найти f "(x) - первую производную.

2) Составить таблицу знаков функции f(x), полагая х равным:

а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним;

б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).

Пример . Отделить корни уравнения 2 х - 5х - 3 = 0.

Имеем f(x) = 2 x - 5x - 3 . Область определения функции f(x) - вся числовая ось.

Вычислим первую производную f "(x) = 2 x ln(2) - 5 .

Приравниваем эту производную нулю:

2 x ln(2) - 5 = 0 ; 2 x ln(2) = 5 ; 2 x = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)) .

Составляем таблицу знаков функции f(x), полагая х равным: а) критическим значениям (корням производной) или ближайшим к ним; б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного):

Корни уравнения заключены в промежутках (-1,0) и (4,5).