Разложить в ряд фурье функцию заданную графиком. Ряды Фурье: история и влияние математического механизма на развитие науки

Ряды Фурье - это представление произвольно взятой функции с конкретным периодом в виде ряда. В общем виде данное решение называют разложением элемента по ортогональному базису. Разложение функций в ряд Фурье является довольно мощным инструментарием при решении разнообразных задач благодаря свойствам данного преобразования при интегрировании, дифференцировании, а также сдвиге выражения по аргументу и свертке.

Человек, не знакомый с высшей математикой, а также с трудами французского ученого Фурье, скорее всего, не поймет, что это за «ряды» и для чего они нужны. А между тем данное преобразование довольно плотно вошло в нашу жизнь. Им пользуются не только математики, но и физики, химики, медики, астрономы, сейсмологи, океанографы и многие другие. Давайте и мы поближе познакомимся с трудами великого французского ученого, сделавшего открытие, опередившее свое время.

Человек и преобразование Фурье

Ряды Фурье являются одним из методов (наряду с анализом и другими) Данный процесс происходит каждый раз, когда человек слышит какой-либо звук. Наше ухо в автоматическом режиме производит преобразование элементарных частиц в упругой среде раскладываются в ряды (по спектру) последовательных значений уровня громкости для тонов разной высоты. Далее мозг превращает эти данные в привычные для нас звуки. Все это происходит помимо нашего желания или сознания, само по себе, а вот для того чтобы понять эти процессы, понадобится несколько лет изучать высшую математику.

Подробнее о преобразовании Фурье

Преобразование Фурье можно проводить аналитическими, числительными и другими методами. Ряды Фурье относятся к числительному способу разложения любых колебательных процессов - от океанских приливов и световых волн до циклов солнечной (и других астрономических объектов) активности. Используя эти математические приемы, можно разбирать функции, представляя любые колебательные процессы в качестве ряда синусоидальных составляющих, которые переходят от минимума к максимуму и обратно. Преобразование Фурье является функцией, описывающей фазу и амплитуду синусоид, соответствующих определенной частоте. Данный процесс можно использовать для решения весьма сложных уравнений, которые описывают динамические процессы, возникающие под действием тепловой, световой или электрической энергии. Также ряды Фурье позволяют выделять постоянные составляющие в сложных колебательных сигналах, благодаря чему стало возможным правильно интерпретировать полученные экспериментальные наблюдения в медицине, химии и астрономии.

Историческая справка

Отцом-основателем этой теории является французский математик Жан Батист Жозеф Фурье. Его именем впоследствии и было названо данное преобразование. Изначально ученый применил свой метод для изучения и объяснения механизмов теплопроводности - распространения тепла в твердых телах. Фурье предположил, что изначальное нерегулярное распределение можно разложить на простейшие синусоиды, каждая из которых будет иметь свой температурный минимум и максимум, а также свою фазу. При этом каждая такая компонента будет измеряться от минимума к максимуму и обратно. Математическая функция, которая описывает верхние и нижние пики кривой, а также фазу каждой из гармоник, назвали преобразованием Фурье от выражения распределения температуры. Автор теории свел общую функцию распределения, которая трудно поддается математическому описанию, к весьма удобному в обращении ряду косинуса и синуса, в сумме дающих исходное распределение.

Принцип преобразования и взгляды современников

Современники ученого - ведущие математики начала девятнадцатого века - не приняли данную теорию. Основным возражением послужило утверждение Фурье о том, что разрывную функцию, описывающую прямую линию или разрывающуюся кривую, можно представить в виде суммы синусоидальных выражений, которые являются непрерывными. В качестве примера можно рассмотреть «ступеньку» Хевисайда: ее значение равно нулю слева от разрыва и единице справа. Данная функция описывает зависимость электрического тока от временной переменной при замыкании цепи. Современники теории на тот момент никогда не сталкивались с подобной ситуацией, когда разрывное выражение описывалось бы комбинацией непрерывных, обычных функций, таких как экспонента, синусоида, линейная или квадратичная.

Что смущало французских математиков в теории Фурье?

Ведь если математик был в прав в своих утверждениях, то, суммируя бесконечный тригонометрический ряд Фурье, можно получить точное представление ступенчатого выражения даже в том случае, если оно имеет множество подобных ступеней. В начале девятнадцатого века подобное утверждение казалось абсурдным. Но несмотря на все сомнения, многие математики расширили сферу изучения данного феномена, выведя его за пределы исследований теплопроводности. Однако большинство ученых продолжали мучиться вопросом: "Может ли сумма синусоидального ряда сходиться к точному значению разрывной функции?"

Сходимость рядов Фурье: пример

Вопрос о сходимости поднимается всякий раз при необходимости суммирования бесконечных рядов чисел. Для понимания данного феномена рассмотрим классический пример. Сможете ли вы когда-либо достигнуть стены, если каждый последующий шаг будет вдвое меньше предыдущего? Предположим, что вы находитесь в двух метрах от цели, первый же шаг приближает к отметке на половине пути, следующий - к отметке в три четверти, а после пятого вы преодолеете почти 97 процентов пути. Однако сколько бы вы шагов ни сделали, намеченной цели вы не достигните в строгом математическом смысле. Используя числовые расчеты, можно доказать, что в конце концов можно приблизиться на сколь угодно малое заданное расстояние. Данное доказательство является эквивалентным демонстрации того, что суммарное значение одной второй, одной четвертой и т. д. будет стремиться к единице.

Вопрос сходимости: второе пришествие, или Прибор лорда Кельвина

Повторно данный вопрос поднялся в конце девятнадцатого века, когда ряды Фурье попробовали применить для предсказания интенсивности отливов и приливов. В это время лордом Кельвином был изобретен прибор, представляющий собой аналоговое вычислительное устройство, которое позволяло морякам военного и торгового флота отслеживать это природное явление. Данный механизм определял наборы фаз и амплитуд по таблице высоты приливов и соответствующих им временных моментов, тщательно замеренных в данной гавани в течение года. Каждый параметр представлял собой синусоидальную компоненту выражения высоты прилива и являлся одной из регулярных составляющих. Результаты измерений вводились в вычислительный прибор лорда Кельвина, синтезирующий кривую, которая предсказывала высоту воды как временную функцию на следующий год. Очень скоро подобные кривые были составлены для всех гаваней мира.

А если процесс будет нарушен разрывной функцией?

В то время представлялось очевидным, что прибор, предсказывающий приливную волну, с большим количеством элементов счета может вычислить большое количество фаз и амплитуд и так обеспечить более точные предсказания. Тем не менее оказалось, что данная закономерность не соблюдается в тех случаях, когда приливное выражение, которое следует синтезировать, содержало резкий скачок, то есть являлось разрывным. В том случае, если в устройство вводятся данные из таблицы временных моментов, то оно производит вычисления нескольких коэффициентов Фурье. Исходная функция восстанавливается благодаря синусоидальным компонентам (в соответствии с найденными коэффициентами). Расхождение между исходным и восстановленным выражением можно измерять в любой точке. При проведении повторных вычислений и сравнений видно, что значение наибольшей ошибки не уменьшается. Однако они локализируются в области, соответствующей точке разрыва, а в любой иной точке стремятся к нулю. В 1899 году этот результат был теоретически подтвержден Джошуа Уиллардом Гиббсом из Йельского университета.

Сходимость рядов Фурье и развитие математики в целом

Анализ Фурье неприменим к выражениям, содержащим бесконечное количество всплесков на определенном интервале. В общем и целом ряды Фурье, если изначальная функция представлена результатом реального физического измерения, всегда сходятся. Вопросы сходимости данного процесса для конкретных классов функций привели к появлению новых разделов в математике, например теории обобщенных функций. Она связана с такими именами, как Л. Шварц, Дж. Микусинский и Дж. Темпл. В рамках данной теории была создана четкая и точная теоретическая основа под такие выражения, как дельта-функция Дирака (она описывает область единой площади, сконцентрированной в бесконечно малой окрестности точки) и «ступень» Хевисайда. Благодаря этой работе ряды Фурье стали применимы для решения уравнений и задач, в которых фигурируют интуитивные понятия: точечный заряд, точечная масса, магнитные диполи, а также сосредоточенная нагрузка на балке.

Метод Фурье

Ряды Фурье, в соответствии с принципами интерференции, начинаются с разложения сложных форм на более простые. Например, изменение теплового потока объясняется его прохождением сквозь различные препятствия из теплоизолирующего материала неправильной формы или изменением поверхности земли - землетрясением, изменением орбиты небесного тела - влиянием планет. Как правило, подобные уравнения, описывающие простые классические системы, элементарно решаются для каждой отдельной волны. Фурье показал, что простые решения также можно суммировать для получения решения более сложных задач. Выражаясь языком математики, ряды Фурье - это методика представления выражения суммой гармоник - косинусоид и синусоид. Поэтому данный анализ известен также под именем «гармонический анализ».

Ряд Фурье - идеальная методика до «компьютерной эпохи»

До создания компьютерной техники методика Фурье являлась лучшим оружием в арсенале ученых при работе с волновой природой нашего мира. Ряд Фурье в комплексной форме позволяет решать не только простые задачи, которые поддаются прямому применению законов механики Ньютона, но и фундаментальные уравнения. Большинство открытий ньютоновской науки девятнадцатого века стали возможны только благодаря методике Фурье.

Ряды Фурье сегодня

С развитием компьютеров преобразования Фурье поднялись на качественно новый уровень. Данная методика прочно закрепилась практически во всех сферах науки и техники. В качестве примера можно привести цифровой аудио- и видеосигнал. Его реализация стала возможной только благодаря теории, разработанной французским математиком в начале девятнадцатого века. Так, ряд Фурье в комплексной форме позволил совершить прорыв в изучении космического пространства. Кроме того, это повлияло на изучение физики полупроводниковых материалов и плазмы, микроволновой акустики, океанографии, радиолокации, сейсмологии.

Тригонометрический ряд Фурье

В математике ряд Фурье является способом представления произвольных сложных функций суммой более простых. В общих случаях количество таких выражений может быть бесконечным. При этом чем больше их число учитывается при расчете, тем точнее получается конечный результат. Чаще всего в качестве простейших используют тригонометрические функции косинуса или синуса. В таком случае ряды Фурье называют тригонометрическими, а решение таких выражений - разложением гармоники. Этот метод играет важную роль в математике. Прежде всего, тригонометрический ряд дает средства для изображения, а также изучения функций, он является основным аппаратом теории. Кроме того, он позволяет решать ряд задач математической физики. Наконец, данная теория способствовала развитию вызвала к жизни целый ряд весьма важных разделов математической науки (теорию интегралов, теорию периодических функций). Кроме того, послужила отправным пунктом для развития следующих функций действительного переменного, а также положила начало гармоническому анализу.

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Р. К. Бельхеева РЯДЫ ФУРЬЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебное пособие Новосибирск 211

2 УДК ББК В161 Б44 Б44 Бельхеева Р. К. Ряды Фурье в примерах и задачах: Учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, с. ISBN В учебном пособии излагаются основные сведения о рядах Фурье, приведены примеры на каждую изучаемую тему. Детально разобран пример применения метода Фурье к решению задачи о поперечных колебаниях струны. Приведен иллюстративный материал. Имеются задачи для самостоятельного решения. Предназначено для студентов и преподавателей физического факультета НГУ. Печатается по решению методической комиссии физического факультета НГУ. Рецензент д-р физ.-мат. наук. В. А. Александров Пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на гг. ISBN c Новосибирский государственный университет, 211 c Бельхеева Р. К., 211

3 1. Разложение 2π-периодической функции в ряд Фурье Определение. Рядом Фурье функции f(x) называется функциональный ряд a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) где коэффициенты a n, b n вычисляются по формулам: a n = 1 π b n = 1 π f(x) cosnxdx, n =, 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Формулы (2) (3) называют формулами Эйлера Фурье. Тот факт, что функции f(x) соответствует ряд Фурье (1) записывают в виде формулы f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) и говорят, что правая часть формулы (4) является формальным рядом Фурье функции f(x). Другими словами, формула (4) означает только то, что коэффициенты a n, b n найдены по формулам (2), (3). 3

4 Определение. 2π-периодическая функция f(x) называется кусочно-гладкой, если в промежутке [, π] найдется конечное число точек = x < x 1 . Рассмотрим два условия: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. С геометрической точки зрения условие (а) означает, что график функции f(x) симметричен относительно вертикальной прямой x = l/2, а условие (б) что график f(x) центрально симметричен относительно точки (l/2;) на оси абсцисс. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если функция f(x) четная и выполнено условие (а), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 =... = ; 2) если функция f(x) четная и выполнено условие (б), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (а), то a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (б), то a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ЗАДАЧИ В задачах 1 7 нарисуйте графики и найдите ряды Фурье для функций, { предполагая, что они имеют период 2π:, если < x a cosx + a2 В задачах найдите ряды Фурье в комплексной форме для функций. 26. f(x) = sgn x, π < x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Равенство Ляпунова Теорема (равенство Ляпунова). Пусть функция f: [, π] R такова, что f 2 (x) dx < +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Поэтому равенство Ляпунова для функции f(x) принимает вид: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Из последнего равенства для a π находим sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Полагая a = π 2, получаем sin2 na = 1 при n = 2k 1 и sin 2 na = при n = 2k. Следовательно, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. ПРИМЕР 14. Напишем равенство Ляпунова для функции f(x) = x cosx, x [, π], и найдем с его помощью сумму числового ряда (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Решение. Прямые вычисления дают = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Поскольку f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1)x π(n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, если n = 2k, 2, если n = 2k + 1. Коэффициент a 1 необходимо вычислить отдельно, поскольку в общей формуле при n = 1 знаменатель дроби обращается в ноль. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Таким образом, равенство Ляпунова для функции f(x) имеет вид: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π , откуда находим сумму числового ряда (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π ЗАДАЧИ 32. Напишите равенство Ляпунова для функции { x f(x) = 2 πx, если x < π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Ответы + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, где c n коэффициент Фурье 2π функции f(x), а d n коэффициент Фурье функции g(x). 6. Дифференцирование рядов Фурье Пусть f: R R непрерывно дифференцируемая 2π-периодическая функция. Ее ряд Фурье имеет вид: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Производная f (x) этой функции будет непрерывной и 2π-периодической функцией, для которой можно записать формальный ряд Фурье: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), где a, a n, b n, n = 1, 2,... коэффициенты Фурье функции f (x). 51

52 Теорема (о почленном дифференцировании рядов Фурье). При сделанных выше предположениях справедливы равенства a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. ПРИМЕР 15. Пусть кусочно-гладкая функция f(x) непрерывна в промежутке [, π]. Докажем, что при выполнении условия f(x)dx = имеет место неравенство 2 dx 2 dx, называемое неравенством Стеклова, и убедимся, что равенство в нем осуществляется лишь для функций вида f(x) = A cosx. Иными словами, неравенство Стеклова дает условия, при выполнении которых из малости производной (в среднеквадратичном) следует малость функции (в среднеквадратичном). Решение. Продолжим функцию f(x) на промежуток [, ] четным образом. Обозначим продолженную функцию тем же символом f(x). Тогда продолженная функция будет непрерывной и кусочно-гладкой на отрезке [, π]. Так как функция f(x) непрерывна, то f 2 (x) непрерывна на отрезке и 2 dx < +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Так как продолженная функция четная, то b n =, a = по условию. Следовательно, равенство Ляпунова принимает вид 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Убедимся, что для f (x) выполняется заключение теоремы о почленном дифференцировании ряда Фурье, то есть что a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Пусть производная f (x) претерпевает изломы в точках x 1, x 2,..., x N в промежутке [, π]. Обозначим x =, x N+1 = π. Разобьем промежуток интегрирования [, π] на N +1 промежуток (x, x 1),..., (x N, x N+1), на каждом из которых f(x) непрерывно дифференцируема. Тогда, используя свойство аддитивности интеграла, а затем интегрируя по частям, получим: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) =. x j π j= Последнее равенство имеет место в силу того, что функция f(x) была продолжена четным образом, а значит f(π) = f(). Аналогично получим a n = nb n. Мы показали, что теорема о почленном дифференцировании рядов Фурье для непрерывной кусочно-гладкой 2π-периодической функции, производная которой в промежутке [, π] претерпевает разрывы первого рода, верна. Значит f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, так как a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Поскольку 2 dx < +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Так как каждый член ряда в (18) больше или равен соответствующего члена ряда в (17), то 2 dx 2 dx. Вспоминая, что f(x) является четным продолжением исходной функции, имеем 2 dx 2 dx. Что и доказывает равенство Стеклова. Теперь исследуем для каких функций в неравенстве Стеклова имеет место равенство. Если хоть для одного n 2, коэффициент a n отличен от нуля, то a 2 n < na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 ЗАДАЧИ 37. Пусть кусочно-гладкая функция f(x) непрерывна в промежутке [, π]. Докажите, что при выполнении условия f() = f(π) = имеет место неравенство 2 dx 2 dx, также называемое неравенством Стеклова, и убедитесь, что равенство в нем имеет место лишь для функций вида f(x) = B sin x. 38. Пусть функция f непрерывна в промежутке [, π] и имеет в нем (за исключением разве лишь конечного числа точек) производную f (x), интегрируемую с квадратом. Докажите, что если при этом выполнены условия f() = f(π) и f(x) dx =, то имеет место неравенство 2 dx 2 dx, называемое неравенством Виртингера, причем равенство в нем имеет место лишь для функций вида f(x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Применение рядов Фурье для решения дифференциальных уравнений в частных производных При изучении реального объекта (явления природы, производственного процесса, системы управления и т. д.) существенными оказываются два фактора: уровень накопленных знаний об исследуемом объекте и степень развития математического аппарата. На современном этапе научных исследований выработалась следующая цепочка: явление физическая модель математическая модель. Физическая постановка (модель) задачи состоит в следующем: выявляются условия развития процесса и главные факторы на него влияющие. Математическая постановка (модель) заключается в описании выбранных в физической постановке факторов и условий в виде системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и др.). Задача называется корректно поставленной, если в определенном функциональном пространстве решение задачи существует, единственно и непрерывно зависит от начальных и граничных условий. Математическая модель не бывает тождественна рассматриваемому объекту, а является его приближенным описанием Вывод уравнения свободных малых поперечных колебаний струны Будем следовать учебнику . Пусть концы струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывести струну из положения равновесия (например, оттянуть или ударить по ней), то струна начнет 57

58 колебаться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания), причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости. Возьмем в этой плоскости систему прямоугольных координат xou. Тогда, если в начальный момент времени t = струна располагалась вдоль оси Ox, то u будет означать отклонение струны от положения равновесия, то есть, положению точки струны с абсциссой x в произвольный момент времени t соответствует значение функции u(x, t). При каждом фиксированном значении t график функции u(x, t) представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис. 32). При постоянном значении x функция u(x, t) дает закон движения точки с абсциссой x вдоль прямой, параллельной оси Ou, производная u t скорость этого движения, а вторая производная 2 u t 2 ускорение. Рис. 32. Силы, приложенные к бесконечно малому участку струны Составим уравнение, которому должна удовлетворять функция u(x, t). Для этого сделаем еще несколько упрощающих предположений. Будем считать струну абсолютно гиб- 58

59 кой, то есть будем считать, что струна не сопротивляется изгибу; это означает, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательным к ее мгновенному профилю. Струна предполагается упругой и подчиняющейся закону Гука; это означает, что изменение величины силы натяжения пропорционально изменению длины струны. Примем, что струна однородна; это означает, что ее линейная плотность ρ постоянна. Внешними силами мы пренебрегаем. Это и означает, что мы рассматриваем свободные колебания. Мы будем изучать только малые колебания струны. Если обозначить через ϕ(x, t) угол между осью абсцисс и касательной к струне в точке с абсциссой x в момент времени t, то условие малости колебаний заключается в том, что величиной ϕ 2 (x, t) можно пренебрегать по сравнению с ϕ(x, t), т. е. ϕ 2. Так как угол ϕ мал, то cosϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u следовательно, величиной (u x x,) 2 также можно пренебрегать. Отсюда сразу следует, что в процессе колебания можем пренебречь изменением длины любого участка струны. Действительно, длина кусочка струны M 1 M 2, проектирующаяся в промежуток оси абсцисс, где x 2 = x 1 + x, равна l = x 2 x () 2 u dx x. x Покажем, что при наших предположениях величина силы натяжения T будет постоянной вдоль всей струны. Возьмем для этого какой либо участок струны M 1 M 2 (рис. 32) в момент времени t и заменим действие отброшенных участ- 59

60 ков силами натяжений T 1 и T 2. Так как по условию все точки струны движутся параллельно оси Ou и внешние силы отсутствуют, то сумма проекций сил натяжения на ось Ox должна равняться нулю: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Отсюда в силу малости углов ϕ 1 = ϕ(x 1, t) и ϕ 2 = ϕ(x 2, t) заключаем, что T 1 = T 2. Обозначим общее значение T 1 = T 2 через T. Теперь вычислим сумму проекций F u этих же сил на ось Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Так как для малых углов sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), а tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x, то уравнение (2) можно переписать так F u T (tg ϕ(x 2, t) tg ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x. Так как точка x 1 выбрана произвольно, то F u T 2 u x2(x, t) x. После того как найдены все силы, действующие на участок M 1 M 2, применим к нему второй закон Ньютона, согласно которому произведение массы на ускорение равно сумме всех действующих сил. Масса кусочка струны M 1 M 2 равна m = ρ l ρ x, а ускорение равно 2 u(x, t). Уравнение t 2 Ньютона принимает вид: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, где α 2 = T ρ постоянное положительное число. 6

61 Сокращая на x, получим 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) В результате мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Его называют уравнением колебаний струны или одномерным волновым уравнением. Уравнение (21) по сути является переформулировкой закона Ньютона и описывает движение струны. Но в физической постановке задачи присутствовали требования о том, что концы струны закреплены и положение струны в какойто момент времени известно. Уравнениями эти условия будем записывать так: а) будем считать, что концы струны закреплены в точках x = и x = l, т. е. будем считать, что для всех t выполнены соотношения u(, t) =, u(l, t) = ; (22) б) будем считать, что в момент времени t = положение струны совпадает с графиком функции f(x), т. е. будем считать, что для всех x [, l] выполнено равенство u(x,) = f(x); (23) в) будем считать, что в момент времени t = точке струны с абсциссой x придана скорость g(x), т. е. будем считать, что u (x,) = g(x). (24) t Соотношения (22) называются граничными условиями, а соотношения (23) и (24) называются начальными условиями. Математическая модель свободных малых поперечных 61

62 колебаний струны заключается в том, что надо решить уравнение (21) с граничными условиями (22) и начальными условиями (23) и (24) Решение уравнения свободных малых поперечных колебаний струны методом Фурье Решения уравнения (21) в области x l, < t . Подставляя (25) в (21), получим: X T = α 2 X T, (26) или T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Говорят, что произошло разделение переменных. Так как x и t не зависят друг от друга, то левая часть в (27) не зависит от x, а правая от t и общая величина этих отношений 62

63 должна быть постоянной, которую обозначим через λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) При этом граничные условия (22) примут вид X()T(t) = и X(l)T(t) =. Поскольку они должны выполняться для всех t, t >, то X() = X(l) =. (3) Найдем решения уравнения (28), удовлетворяющего граничным условиям (3). Рассмотрим три случая. Случай 1: λ >. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид X (x) β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение k 2 β 2 = имеет корни k = ±β. Следовательно, общее решение уравнения (28) имеет вид X(x) = C e βx + De βx. Мы должны подобрать постоянные C и D так, чтобы соблюдались граничные условия (3), т. е. X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Поскольку β, то эта система уравнений имеет единственное решение C = D =. Следовательно, X(x) и 63

64 u(x, t). Тем самым, в случае 1 мы получили тривиальное решение, которое далее рассматривать не будем. Случай 2: λ =. Тогда уравнение (28) принимает вид X (x) = и его решение, очевидно, задается формулой: X(x) = C x+d. Подставляя это решение в граничные условия (3), получим X() = D = и X(l) = Cl =, значит, C = D =. Следовательно, X(x) и u(x, t), и мы опять получили тривиальное решение. Случай 3: λ 0) .

К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением у = ƒ(χ), в

виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ƒ(x) разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке х 0 , в силу периодичности функций

(n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида (m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если S n (x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем

а потому и

, т. е. S(x 0 +T)=S(x 0). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.

2. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.

Пусть периодическая функция ƒ(х) с периодом 2π такая, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:

. (2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится положительный числовой ряд

(3)

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (-π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2):

.

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

, , .

Таким образом,

, откуда . (4)

Оценка коэффициентов Фурье. (Бугров)

Теорема 1. Пусть функция ƒ(x) периода 2π имеет непрерывную производную ƒ ( s) (x) порядка s, удовлетворяющей на всей действительной оси неравенству:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

тогда коэффициенты Фурье функции ƒ удовлетворяют неравенству

(6)

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что

ƒ(-π) = ƒ(π), имеем

Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) непрерывны и принимают одинаковые значения в точках t = -π и t = π, а также оценку (5), получим первую оценку (6).

Вторая оценка (6) получается подобным образом.

Теорема 2. Для коэффициентов Фурье ƒ(x) имеет место неравенство

(8)

Доказательство. Имеем